2014年招生考试高等代数考试大纲(数学、统计学硕士研究生)

一、考试性质

山东理工大学数学与信息科学学院硕士研究生入学《高等代数》考试是为招收应用数学专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试。它的主要目的是测试考生对高等代数各部分内容掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试的考生。

二、考试的基本要求

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论,以检验考生掌握《高等代数》的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的熟练程度为主,兼顾考察考生的数学基础。

三、考试方法和考试时间

高等代数考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为150分,考试时间为180分钟。

四、参考书目

教材:高等代数:北京大学数学系编,《高等代数》(第三版),高等教育出版社。

五、考试内容和考试要求

(一)多项式理论

掌握一元多项式的概念、运算及带余除法;掌握多项式的整除概念和性质、最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质;掌握不可约多项式的概念和多项式因式分解问题;掌握多项式的重因式概念;掌握多项式函数及多项式根的概念及有关理论;掌握复、实系数多项式和有理系数多项式的有关理论和计算问题。

(二)行列式

掌握n阶行列式的概念与性质;会运用行列式性质熟练地计算行列式;掌握克莱姆法则,并且会运用它来解线性方程组。

(三)线性方程组

理解消元法和矩阵初等变换的关系,熟练掌握用矩阵的初等变换解一般线性方程组;理解和掌握矩阵的秩的概念,能熟练地用矩阵的初等变换求矩阵的秩;掌握线性方程组有解的判别定理及其应用;掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件;熟练掌握齐次线性方程组的基础解系及一般线性方程组通解的理论和求法。

(四)矩阵

掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律,并能熟练地运用;掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定;熟悉矩阵乘积的行列式、秩的定理及应用;掌握初等矩阵的概念,初等矩阵与初等变换的的关系,用初等变换求逆矩阵的理论与方法;掌握与分块矩阵有关的基本问题的解法。

(五)二次型

掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系;掌握矩阵的合同概念及其性质;掌握将二次型化为标准形的方法;掌握复数域与实数域上二次型的规范形;熟练掌握正定、半正定二次型的概念和判别法。

(六)向量空间

掌握向量空间的概念及其简单性质,掌握向量组的线性相关性理论;掌握向量空间中基、维数和向量坐标的概念及求法,掌握过渡矩阵和坐标变换公式概念和性质;掌握向量空间的子空间的概念和判别法,熟练掌握子空间的交与和的概念、子空间直和的判别法;掌握向量空间同构的概念和性质。

(七)线性变换

掌握线性变换的概念、运算及其性质;掌握线性变换的矩阵的概念、性质和求法;熟练掌握矩阵的相似、特征多项式、特征值、特征向量的理论和求法;熟练掌握线性变换的特征多项式、特征值、特征向量的理论和求法;熟练掌握线性变换的值域与核的概念和性质、不变子空间理论;熟练掌握矩阵可对角化的理论与方法;掌握最小多项式的概念、理论和求法。

(八)l-矩阵

掌握不变因子、初等因子、相似的判定和若当标准形的求法。

(九)欧氏空间

掌握内积、欧氏空间、向量的长度、两个向量的夹角、距离等概念;掌握度量矩阵的概念及性质;熟练掌握标准正交基的概念、理论和求法;掌握正交变换和正交矩阵的概念、性质及其关系;掌握对称变换的概念、理论及其与对称矩阵的关系,熟练掌握与实二次型(实对称矩阵)主轴问题有关的理论和计算方法;理解向量到子空间的距离的理论。