数学与统计学院硕士研究生招生考试
复试科目大纲
科目名称：常微分方程 考试范围： 一、常微分方程模型与基本概念 考试内容：常微分方程模型，基本概念。 考试要求：（1）了解常微分方程数学建模的思路和基本方法，并能建立简单的常微分方程数学模型；（2）了解微分方程的主要研究内容以及与分析学、代数学等学科的相关联系；（3）掌握微分方程有关的基本概念和用积分曲线、向量场思想处理微分方程解的结构等相关问题的方法。 二、一阶微分方程的初等解法 考试内容：变量分离方程与变量变换，线性微分方程与常数变易法，恰当微分方程与积分因子，一阶隐式微分方程。 考试要求：（1）熟练掌握变量分离方程、一阶线性微分方程及恰当微分方程求解的求解方法；（2）掌握可化为变量分离方程的方程类型和求解方法，并能熟练求解齐次方程、伯努利方程等方程；（3）掌握微分方程积分因子的判断、简单基本因子的求法以及相关内容；（4）熟练掌握四种形式的一阶隐式方程求解方法与解的参数表示；（5）了解微分方程的变量变换法求解思想，并能够用来求解黎卡提方程等一些特殊的微分方程。 三、一阶微分方程的解的存在定理 考试内容：解的存在唯一性定理与逐步逼近法，解的延拓，解对初值的连续性和可微性定理，包络和奇解。 考试要求：（1）理解微分方程解的存在唯一性定理的意义和证明方法，会用Picard逐步逼近法计算微分方程的近似解以及解的存在区间，会估计近似解与真解的误差；（2）掌握解的延拓定理，（3）了解解对初值的连续依赖性和解的连续性定理，解的可微性定理的要求条件和相应结论，了解定理的证明方法和基本思路；（4）掌握Grondwall不等式、贝尔曼引理的特征和在微分方程解的唯一性证明中的应用；(5)掌握解的存在唯一性条件与奇解的关系，了解曲线族的包络线，微分方程的奇解，克莱罗方程通解和奇解的相关求解方法。 四、高阶微分方程 考试内容：线性微分方程的一般理论，常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶方法，高阶微分方程的幂级数解法。 考试要求：(1)掌握高阶线性齐次和非齐次微分方程的通解结构，高阶微分方程的常数变易法；（2）熟练掌握常系数高阶线性微分方程的解法；（3）掌握可降阶的高阶微分方程类型及求解方法；（4）了解欧拉方程的求解方法以及与常系数线性微分方程之间的关系；（5）掌握微分方程的幂级数解法理论依据和求解思想。 五、线性微分方程组 考试内容：微分方程组的一般理论，齐次线性微分方程组，非齐次线性微分方程组，拉普拉斯变换。 考试要求： （1）掌握微分方程组的矩阵表示以及与高阶微分方程（组）之间的关系；（2）掌握齐次线性和非齐次微分方程组的通解结构定理和常数变易法的基本思想；（3）熟练掌握常系数线性齐次微分方程组的求解方法、基解矩阵的计算以及常系数线性非齐次方程组的求解方法；（4）掌握利用已知解降低微分方程组未知量个数的方法；（5）掌握拉普拉斯变换的相关性质及求解微分方程的思想方法。 考试内容：微分方程解的稳定性，李雅普诺夫定理和V-函数构造，奇点、极限环和平面相图。 考试要求：（1）理解微分方程解的稳定性定义，掌握李雅普诺夫定理，会构造简单的V-函数来判断相关方程组零解的稳定性；（2）了解平面系统的奇点定义，奇点的分类，并会判定各种初等奇点的定性和相图；（3）了解平面相图、极限环的意义，分支思想和混沌的多样性。 参考书目： 《常微分方程》第四版，王高雄等编著，高等教育出版社。 科目名称：概率论与数理统计 考试范围： 一、随机事件与概率 了解概论率中的随机变量与概率的相关定义和性质，掌握概论率的三大重要公式乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，以及能够利用三大公式解决具体的问题。 二、随机变量及其分布 熟练掌握随机变量、分布函数、概率密度的定义和性质，掌握常见的离散型和连续型的概率分布，熟练掌握随机变量的数字特征：数学期望和方差，掌握切比雪夫不等式及其意义。掌握随机变量的函数分布求解。了解随机变量的其它数字特征。 三、多维随机变量及其分布 了解多维随机变量、联合分布函数的定义。掌握联合分布列和联合密度函数的求解。熟练掌握常见的多维分布、边际分布函数、边际分布列、密度函数的求解。掌握随机变量独立性的判断。掌握随机变量函数的分布，掌握随机变量分布的可加性判断，掌握多维随机变量的协方差和相关系数的求解。熟练掌握条件分布和条件期望。 四、大数定律和中心极限定理 掌握随机变量序列的两种收敛性，熟练掌握几种大数定律和独立同分布的中心极限定理，了解特征函数的定义和性质。 五、统计量及其分布 了解总体、个体、样本的定义，熟练掌握统计量及其相应分布、熟练掌握统计量的概念、常见统计量的定义及其计算方法；了解抽样分布、渐进分布以及近似分布三大抽样分布。掌握充分统计量的定义和判别方法。 六、参数估计 了解参数估计的相关概念；熟练掌握矩估计和最大似然估计的定义和思想；掌握最小方差无偏估计。熟练掌握单个总体均值、方差的区间估计；掌握两个总体均值之差、方差之比例的区间估计。熟练掌握估计量的评价标准（无偏性、有效性和相合性）及样本量的确定方法。了解贝叶斯估计。 七、假设检验 掌握假设检验的基本概念、检验思想，掌握两类错误的计算方法及假设检验的基本流程；熟练掌握单个总体均值、方差的假设检验，掌握两个总体均值之差、方差之比的假设检验。了解其它分布的参数假设检验；了解似然比检验与分布拟合检验。 八、方差分析与回归分析 了解方差分析的概念、基本思想及其原理；熟练掌握单因素方差分析的基本步骤；掌握多因素方差分析的基本步骤；了解关系强度的测量及如何进行多重比较。了解变量间关系的度量方法；熟练掌握一元线性回归模型、参数的最小二乘估计、回归直线的拟合优度、显著性检验；掌握如何对回归方程进行预测,了解如何进行残差分析。 参考书目：
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